КласТека · твоя школа онлайн
Математика: алгебра й геометрія — база
Модуль, раціональні та показникові рівняння, статистика, коло, подібність і теорема Піфагора.
Модуль числа: правила та рівняння
Геометричний зміст модуля, базові властивості та типові рівняння з |x|.
Визначення
- |a| = a, якщо a ≥ 0
- |a| = −a, якщо a < 0
- Модуль — відстань від числа до нуля на координатній прямій
Властивості
- |ab| = |a||b|
- |a/b| = |a|/|b|, b ≠ 0
- |a| ≥ 0
- |a| = 0 лише коли a = 0
Рівняння
- |x| = a при a > 0 → x = ±a
- |x| < a → −a < x < a
- |x| > a → x < −a або x > a
Раціональні рівняння: ОДЗ та алгоритм
Як розв’язувати рівняння з дробами та не втрачати обмеження області допустимих значень.
ОДЗ
- Знаменник не може дорівнювати нулю
- Спочатку випиши всі заборонені значення змінної
Алгоритм
- Знайди спільний знаменник
- Помнож обидві частини на нього
- Розв’яжи отримане рівняння
- Відкинь корені, що не належать ОДЗ
Перевірка
- Підстановка у вихідне рівняння допомагає знайти сторонні корені
Показникові рівняння: базові способи
Зведення до однакової основи, заміна змінної та монотонність показникової функції.
Однакова основа
- a^f(x) = a^g(x), a > 0, a ≠ 1 → f(x) = g(x)
- Прагни подати всі степені через одну основу
Заміна
- Якщо повторюється a^x, познач t = a^x, причому t > 0
- Після розв’язання повернися до x
Пам’ятай
- При a > 1 функція a^x зростає
- При 0 < a < 1 функція a^x спадає
Статистика: середнє, медіана, мода, розмах
Чотири базові характеристики набору даних та алгоритми їх знаходження.
Середнє
- Середнє арифметичне = сума значень / кількість значень
Медіана
- Упорядкуй дані
- Для непарної кількості — центральне значення
- Для парної — середнє двох центральних
Мода і розмах
- Мода — значення, що трапляється найчастіше
- Розмах = найбільше − найменше
Коло і круг: хорди, дотичні, кути
Формули довжини кола, площі круга та ключові властивості кутів і дотичних.
Формули
- L = 2πR
- S = πR²
- Довжина дуги: l = 2πR·α/360°
Кути
- Центральний кут дорівнює градусній мірі відповідної дуги
- Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається
Дотична
- Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної
- Відрізки дотичних з однієї зовнішньої точки рівні
Подібність трикутників і теорема Піфагора
Ознаки подібності, коефіцієнт подібності та головні співвідношення прямокутного трикутника.
Піфагор
- У прямокутному трикутнику: c² = a² + b²
- c — гіпотенуза
Ознаки подібності
- За двома кутами
- За двома пропорційними сторонами і кутом між ними
- За трьома пропорційними сторонами
Коефіцієнт
- Відповідні сторони відносяться як k
- Периметри — як k
- Площі — як k²