КласТека · твоя школа онлайн
Алгебра: швидке повторення
Рівняння, нерівності, відсотки, функції, прогресії та похідна в одній добірці.
Лінійні рівняння: алгоритм розв’язання
Як швидко розв’язувати рівняння виду ax + b = c та не втрачати знаки.
Базова схема
- ax + b = c
- ax = c − b
- x = (c − b)/a, якщо a ≠ 0
Як переносити
- Доданок переносимо в іншу частину зі зміною знака
- Множник біля x прибираємо діленням обох частин
Особливі випадки
- 0·x = 0 — безліч розв’язків
- 0·x = k, k ≠ 0 — розв’язків немає
- Після розв’язання корисно зробити підстановку
Системи лінійних рівнянь
Методи підстановки, додавання та графічна інтерпретація систем двох рівнянь.
Підстановка
- Вирази одну змінну через іншу
- Підстав отриманий вираз у друге рівняння
- Знайди одну змінну, потім другу
Додавання
- Домнож рівняння так, щоб коефіцієнти при одній змінній стали протилежними
- Додай рівняння почленно
- Розв’яжи отримане рівняння з однією змінною
Кількість розв’язків
- Прямі перетинаються — один розв’язок
- Паралельні різні прямі — немає розв’язків
- Прямі збігаються — безліч розв’язків
Лінійні нерівності та числові проміжки
Головне правило зміни знака нерівності та запис відповіді проміжком.
Основне правило
- Додавання або віднімання одного числа з обох частин знак не змінює
- При множенні або діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний
Проміжки
- x > a → (a; +∞)
- x ≥ a → [a; +∞)
- x < a → (−∞; a)
- x ≤ a → (−∞; a]
Подвійна нерівність
- a < x < b → (a; b)
- Крайня точка входить у проміжок лише для ≤ або ≥
Відсотки та пропорції: швидкі формули
Як знайти відсоток від числа, число за його відсотком і відсоткову зміну.
Відсоток від числа
- p% від a = a·p/100
- Наприклад 15% від 200 = 200·0,15 = 30
Число за відсотком
- Якщо p% числа дорівнює b, то число = b·100/p
- 1% числа = число/100
Зміна
- Відсоткова зміна = (нове − старе)/старе · 100%
- Збільшення на p%: нове = старе·(1 + p/100)
- Зменшення на p%: нове = старе·(1 − p/100)
Функція та графік: базові поняття
Область визначення, значення функції, нулі, проміжки знаку та монотонність.
Що читати з графіка
- f(x) — значення функції при заданому x
- Нулі функції — точки, де графік перетинає вісь Ox
- f(x) > 0 — графік вище осі Ox; f(x) < 0 — нижче
Область визначення
- Це всі допустимі значення аргументу x
- Для дробу знаменник не може дорівнювати нулю
- Для √g(x) у дійсних числах потрібно g(x) ≥ 0
Монотонність
- Функція зростає, якщо більшому x відповідає більше значення f(x)
- Функція спадає, якщо більшому x відповідає менше f(x)
Арифметична прогресія: формули
n-й член, різниця та сума перших n членів арифметичної прогресії.
n-й член
- aₙ = a₁ + d(n − 1)
- d = aₙ₊₁ − aₙ
Сума
- Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2
- Sₙ = (2a₁ + d(n − 1))n/2
Властивість
- Для трьох послідовних членів: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁
- Перед підстановкою випиши, що саме відоме: a₁, d, n, aₙ або Sₙ
Геометрична прогресія: формули
Знаменник, n-й член і сума геометричної прогресії.
n-й член
- bₙ = b₁qⁿ⁻¹
- q = bₙ₊₁/bₙ, якщо bₙ ≠ 0
Сума перших n членів
- Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1
- Якщо q = 1, то Sₙ = nb₁
Нескінченна спадна
- За |q| < 1: S = b₁/(1 − q)
- Формула нескінченної суми не застосовується при |q| ≥ 1
Похідна: основні формули та правила
Таблиця похідних і правила суми, добутку, частки та складеної функції.
Базові похідні
- (C)' = 0
- (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = −sin x
- (eˣ)' = eˣ
Правила
- (u ± v)' = u' ± v'
- (uv)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v − uv')/v², v ≠ 0
Застосування
- Критичні точки шукають з f'(x) = 0 або там, де похідна не існує
- f'(x) > 0 — функція зростає; f'(x) < 0 — спадає на відповідному проміжку