КласТека · твоя школа онлайн
Математика 11 клас і НМТ: складні теми
Перетворення графіків, ірраціональні та логарифмічні рівняння, показникові нерівності, інтеграл і тіла обертання.
Перетворення графіків функцій
Зсуви, розтягнення, стискання та відбиття графіка y = f(x).
Зсуви
- y = f(x) + a — зсув уздовж Oy на a
- y = f(x − a) — зсув праворуч на a
- y = f(x + a) — зсув ліворуч на a
Відбиття
- y = −f(x) — відбиття відносно Ox
- y = f(−x) — відбиття відносно Oy
Масштаб
- y = kf(x): при |k| > 1 графік розтягується вздовж Oy, при 0 < |k| < 1 — стискається
Ірраціональні рівняння
ОДЗ, ізоляція кореня, піднесення до степеня та обов’язкова перевірка.
ОДЗ
- Для кореня парного степеня підкореневий вираз має бути ≥ 0
Алгоритм
- Ізолюй радикал
- Піднеси обидві частини до відповідного степеня
- Розв’яжи отримане рівняння
Перевірка
- Піднесення до парного степеня може породити сторонні корені, тому перевіряй у вихідному рівнянні
Логарифмічні рівняння
ОДЗ, зведення до однієї основи та перехід від логарифмів до рівності аргументів.
ОДЗ
- Аргумент логарифма > 0
- Основа > 0 і не дорівнює 1
Однакова основа
- log_a f(x) = log_a g(x) → f(x) = g(x), якщо обидва аргументи додатні
Порада
- Спочатку випиши ОДЗ, потім застосовуй властивості логарифмів, наприкінці відкинь недопустимі корені
Показникові нерівності
Як змінюється знак нерівності залежно від основи показникової функції.
Основа > 1
- a^f(x) > a^g(x) при a > 1 → f(x) > g(x)
Основа між 0 і 1
- 0 < a < 1: функція спадна, тому знак нерівності між показниками змінюється
Заміна
- Для виразів із a^x і a^(2x) зручно вводити t = a^x, t > 0
Первісна та визначений інтеграл
Базові первісні та формула Ньютона—Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.
Первісна
- F'(x) = f(x) означає, що F — первісна для f
- Усі первісні: F(x) + C
База
- ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, n ≠ −1
- ∫1/x dx = ln|x| + C
Ньютон—Лейбніц
- ∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a), де F — первісна f
Циліндр, конус і куля: перерізи
Які фігури виникають у типових осьових та паралельних перерізах тіл обертання.
Циліндр
- Осьовий переріз прямого кругового циліндра — прямокутник зі сторонами 2R і h
- Переріз площиною, паралельною основі, — круг
Конус
- Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник з основою 2R
- Переріз паралельно основі — круг
Куля
- Будь-який площинний переріз кулі — круг
- Найбільший переріз проходить через центр і має радіус R