КласТека · твоя школа онлайн
Головні формули з математики
Алгебра, тригонометрія, планіметрія і стереометрія в одній навчальній добірці.
Формули скороченого множення
Сім базових тотожностей, які варто впізнавати з першого погляду.
Квадрати
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a − b)(a + b)
Куби
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Сума і різниця кубів
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Квадратне рівняння: дискримінант і корені
Алгоритм розв’язання ax² + bx + c = 0 і формули Вієта.
Основні формули
- D = b² − 4ac
- x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a
- D > 0 — два корені; D = 0 — один; D < 0 — дійсних коренів немає
Теорема Вієта
- x₁ + x₂ = −b/a
- x₁x₂ = c/a
- Для x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q
Перевірка
- Переконайся, що a ≠ 0
- Підстав знайдені корені у вихідне рівняння
- Не загуби знак мінус перед b
Степені та корені: основні властивості
Правила множення, ділення, піднесення степеня до степеня та властивості коренів.
Степені
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
Нульовий і від’ємний степінь
- a⁰ = 1, a ≠ 0
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Корені
- √(ab) = √a · √b для допустимих a, b
- √(a²) = |a|
- ⁿ√(aᵐ) = aᵐ⁄ⁿ за умов існування виразу
Тригонометрія: основні формули
Синус, косинус, тангенс і базові тотожності в одному місці.
База
- sin²α + cos²α = 1
- tg α = sin α / cos α
- ctg α = cos α / sin α
Подвійний кут
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos²α − sin²α
- cos 2α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
Додавання
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
- cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Площі основних геометричних фігур
Швидка таблиця площ трикутника, чотирикутників і круга.
Трикутник
- S = ah/2
- S = ab·sin γ / 2
- S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) — формула Герона
Чотирикутники
- Прямокутник: S = ab
- Квадрат: S = a²
- Паралелограм: S = ah
- Трапеція: S = (a + b)h/2
Коло
- Круг: S = πr²
- Довжина кола: L = 2πr
- Сектор: S = πr²·α/360°
Об’єми та площі поверхні тіл
Куб, призма, піраміда, циліндр, конус і куля — головні формули стереометрії.
Призма і піраміда
- Призма: V = Sосн·h
- Піраміда: V = Sосн·h/3
- Прямокутний паралелепіпед: V = abc
Тіла обертання
- Циліндр: V = πr²h
- Конус: V = πr²h/3
- Куля: V = 4πr³/3
Поверхні
- Циліндр: Sбіч = 2πrh
- Конус: Sбіч = πrl
- Сфера: S = 4πr²