КласТека · твоя школа онлайн
Математика НМТ: ключові теми
Логарифми, ймовірність, координати, трикутники, прогресії, похідна та базова алгебра для системного повторення.
Квадратне рівняння: дискримінант і корені
Алгоритм розв’язання ax² + bx + c = 0 і формули Вієта.
Основні формули
- D = b² − 4ac
- x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a
- D > 0 — два корені; D = 0 — один; D < 0 — дійсних коренів немає
Теорема Вієта
- x₁ + x₂ = −b/a
- x₁x₂ = c/a
- Для x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q
Перевірка
- Переконайся, що a ≠ 0
- Підстав знайдені корені у вихідне рівняння
- Не загуби знак мінус перед b
Лінійні нерівності та числові проміжки
Головне правило зміни знака нерівності та запис відповіді проміжком.
Основне правило
- Додавання або віднімання одного числа з обох частин знак не змінює
- При множенні або діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний
Проміжки
- x > a → (a; +∞)
- x ≥ a → [a; +∞)
- x < a → (−∞; a)
- x ≤ a → (−∞; a]
Подвійна нерівність
- a < x < b → (a; b)
- Крайня точка входить у проміжок лише для ≤ або ≥
Арифметична прогресія: формули
n-й член, різниця та сума перших n членів арифметичної прогресії.
n-й член
- aₙ = a₁ + d(n − 1)
- d = aₙ₊₁ − aₙ
Сума
- Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2
- Sₙ = (2a₁ + d(n − 1))n/2
Властивість
- Для трьох послідовних членів: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁
- Перед підстановкою випиши, що саме відоме: a₁, d, n, aₙ або Sₙ
Геометрична прогресія: формули
Знаменник, n-й член і сума геометричної прогресії.
n-й член
- bₙ = b₁qⁿ⁻¹
- q = bₙ₊₁/bₙ, якщо bₙ ≠ 0
Сума перших n членів
- Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1
- Якщо q = 1, то Sₙ = nb₁
Нескінченна спадна
- За |q| < 1: S = b₁/(1 − q)
- Формула нескінченної суми не застосовується при |q| ≥ 1
Логарифми: означення та властивості
Означення логарифма, область допустимих значень і головні формули перетворень.
Означення
- logₐb = c ⇔ aᶜ = b
- Умови: a > 0, a ≠ 1, b > 0
Властивості
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xᵖ) = p·logₐx за допустимих значень
Корисні формули
- logₐ1 = 0
- logₐa = 1
- a^(logₐx) = x
- Формула переходу: logₐb = log_cb / log_ca
Похідна: основні формули та правила
Таблиця похідних і правила суми, добутку, частки та складеної функції.
Базові похідні
- (C)' = 0
- (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = −sin x
- (eˣ)' = eˣ
Правила
- (u ± v)' = u' ± v'
- (uv)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v − uv')/v², v ≠ 0
Застосування
- Критичні точки шукають з f'(x) = 0 або там, де похідна не існує
- f'(x) > 0 — функція зростає; f'(x) < 0 — спадає на відповідному проміжку
Ймовірність і комбінаторика: базові формули
Класична ймовірність, правило суми й добутку та найпростіші комбінаторні підрахунки.
Класична ймовірність
- P(A) = m/n, якщо всі n елементарних результатів рівноймовірні, а m сприяють події A
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(неможливої) = 0, P(достовірної) = 1
Правила
- Для несумісних подій: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Для незалежних подій: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- P(Ā) = 1 − P(A)
Підрахунок
- Правило добутку: якщо першу дію можна виконати m способами, а другу після неї n способами, разом mn способів
- n! = 1·2·…·n
Вектори й координати на площині
Координати вектора, довжина відрізка, середина, скалярний добуток і кут між векторами.
Точки
- Відстань: AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Середина відрізка: ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2)
Вектор
- AB⃗ = (x_B−x_A; y_B−y_A)
- |a⃗| = √(aₓ² + aᵧ²)
- a⃗ + b⃗ = (aₓ+bₓ; aᵧ+bᵧ)
Скалярний добуток
- a⃗·b⃗ = aₓbₓ + aᵧbᵧ
- a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos α
- Перпендикулярні ненульові вектори мають скалярний добуток 0
Трикутник: основні формули
Піфагор, синуси, косинуси, площа, радіуси вписаного й описаного кіл.
Прямокутний трикутник
- c² = a² + b² — теорема Піфагора
- S = ab/2 для катетів a і b
Довільний трикутник
- Теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab cos γ
- Теорема синусів: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
Площа й радіуси
- S = ah/2
- S = ab sin γ/2
- S = pr, де p — півпериметр
- S = abc/(4R)