КласТека · твоя школа онлайн
Математика: від дробів до стереометрії
Дроби, множники, парабола, тригонометричні рівняння та просторові задачі.
Звичайні дроби: основні дії
Скорочення, спільний знаменник, додавання, множення, ділення та перетворення мішаних чисел.
Додавання і віднімання
- Зведи дроби до спільного знаменника
- Додай або відніми чисельники, знаменник залиш спільним
- Скороти результат, якщо можливо
Множення і ділення
- a/b · c/d = ac/bd
- a/b : c/d = a/b · d/c
- Перед множенням зручно скорочувати навхрест
Мішані числа
- Перед множенням або діленням перетвори мішане число на неправильний дріб
- Після обчислення за потреби виділи цілу частину
Розкладання многочлена на множники
Винесення спільного множника, групування та застосування формул скороченого множення.
Спільний множник
- ab + ac = a(b + c)
- Винось найбільший спільний числовий і буквений множник
Групування
- Об’єднай доданки так, щоб у групах з’явився спільний множник
- Після винесення має утворитися спільний дужковий множник
Формули
- a² − b² = (a − b)(a + b)
- a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
- a³ ± b³ — використовуй формули суми/різниці кубів
Квадратична функція і парабола
Вершина, вісь симетрії, напрям гілок і нулі функції y = ax² + bx + c.
Вершина
- x₀ = −b/(2a)
- y₀ = f(x₀)
- Вісь симетрії: x = x₀
Гілки
- a > 0 — гілки вгору
- a < 0 — гілки вниз
- Чим більше |a|, тим вужча парабола
Нулі
- Нулі функції — корені рівняння ax² + bx + c = 0
- Їх кількість визначається дискримінантом
Найпростіші тригонометричні рівняння
Базові розв’язки sin x = a, cos x = a і tg x = a.
sin x = a
- За |a| ≤ 1: x = (−1)^n arcsin a + πn, n ∈ Z
- Для окремих табличних значень використовуй одиничне коло
cos x = a
- За |a| ≤ 1: x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z
tg x = a
- x = arctg a + πn, n ∈ Z
- Тангенс має період π
Відстані й кути у просторі
Відстань від точки до площини, між паралельними площинами та кут між прямою і площиною.
Відстань
- Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину
- Між паралельними площинами — довжина спільного перпендикуляра
Кут прямої з площиною
- Це кут між прямою та її ортогональною проєкцією на площину
Практика
- У задачах спершу побудуй потрібний перпендикуляр або проєкцію
- Після цього часто виникає прямокутний трикутник
Призма й піраміда: елементи та перерізи
Основа, висота, бічні ребра та логіка побудови найпростіших перерізів многогранників.
Призма
- Дві рівні паралельні основи
- Бічні ребра паралельні та рівні
- У прямій призмі висота дорівнює бічному ребру
Піраміда
- Одна основа-многокутник
- Бічні грані — трикутники зі спільною вершиною
- Висота — перпендикуляр з вершини до площини основи
Переріз
- Познач точки перетину січної площини з ребрами
- У межах однієї грані сполучай точки прямим відрізком