ГДЗ Геометрія 7 клас — Мерзляк А. Г. 2024, вправа 305

🧠 Розв’язання вправи 305 крок за кроком

1. Нехай AM і A₁M₁ — рівні медіани трикутників ABC і A₁B₁C₁, причому ∠BAM=∠B₁A₁M₁ та ∠MAC=∠M₁A₁C₁.
2. Продовжимо AM за M до точки D так, щоб MD=AM; аналогічно продовжимо A₁M₁ до D₁ так, щоб M₁D₁=A₁M₁. Тоді AD=A₁D₁, бо обидва відрізки удвічі довші за рівні медіани.
3. Оскільки M — середина BC, маємо BM=CM. У трикутниках AMB і DMC: AM=DM, BM=CM, а ∠AMB=∠DMC як вертикальні. Тому ∆AMB=∆DMC.
4. Звідси AB=DC і ∠BAM=∠CDM. Аналогічно з ∆AMC=∆DMB одержуємо AC=DB і ∠MAC=∠MDB.
5. Такі самі побудова й доведення для другого трикутника дають A₁B₁=D₁C₁ та ∠C₁D₁A₁=∠B₁A₁M₁.
6. У трикутниках ACD і A₁C₁D₁ маємо AD=A₁D₁, ∠CAD=∠C₁A₁D₁ за другою парою заданих кутів, а ∠CDA=∠C₁D₁A₁ за першою парою. Тому ∆ACD=∆A₁C₁D₁ за другою ознакою.
7. Отже, AC=A₁C₁ і DC=D₁C₁. Разом із AB=DC та A₁B₁=D₁C₁ дістаємо AB=A₁B₁.
8. Кути BAC і B₁A₁C₁ складаються з відповідно рівних пар кутів, тому вони рівні. За двома сторонами і кутом між ними ∆ABC=∆A₁B₁C₁.