ГДЗ Геометрія 7 клас — Мерзляк А. Г. 2024, Вправа 649

🧠 Розв’язання · Вправа 649

1. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник з основою AC, F — центр вписаного кола, O — центр описаного кола.
2. Обидва центри лежать на осі симетрії трикутника — перпендикулярі до AC через її середину.
3. За рисунком F і O лежать по різні боки від AC та мають однакові відстані до AC, тому вони симетричні відносно AC. Отже, AF=AO.
4. Позначимо кут при основі ∠A=∠C=α. Тоді ∠B=180°−2α.
5. BF — бісектриса кута B і B,F,O лежать на осі симетрії, тому ∠ABO=½∠B=90°−α.
6. OA=OB як радіуси описаного кола, отже трикутник AOB рівнобедрений і ∠BAO=90°−α.
7. Оскільки O лежить по інший бік від AC, ∠BAO=∠BAC+∠CAO, тому ∠CAO=90°−2α.
8. Точки F і O симетричні відносно AC, отже ∠FAC=∠CAO=90°−2α.
9. AF — бісектриса кута A, тому ∠FAC=α/2.
10. Маємо α/2=90°−2α. Звідси 5α=180° і α=36°.
11. Тоді ∠B=180°−72°=108°.