ГДЗ Геометрія 7 клас — Мерзляк А. Г. 2024, Вправа 511

🧠 Розв’язання · Вправа 511

1. ME і NF — висоти трикутника MKN, тому ME⊥KN і NF⊥MK. Точка O лежить на обох висотах.
2. OM=ON, отже трикутник MON рівнобедрений і ∠OMN=∠MNO.
3. Кут OMN доповнює кут MNK до 90°, а кут MNO доповнює кут NMK до 90°. Тому ∠MNK=∠NMK.
4. Отже, у великому трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони: KM=KN.
5. Трикутники KEM і KFN прямокутні при E і F. Їхні гіпотенузи KM і KN рівні, а гострий кут при K є спільним кутом великого трикутника.
6. Тому ∆KEM=∆KFN за гіпотенузою та гострим кутом. Звідси KE=KF.
7. За умовою MF=KE, отже MF=KF. Точка F — середина KM.
8. NF водночас є висотою та медіаною трикутника MKN, тому цей трикутник рівнобедрений: NM=NK.
9. Разом із KM=KN маємо KM=KN=MN.