ГДЗ · Математика · 11 клас

ГДЗ Математика 11 клас — Мерзляк А. Г. 2019, сторінка 43

Підручник «Математика: алгебра і початки аналізу та геометрія (рівень стандарту). 11 клас» · Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. · 2019. На цій сторінці зібрані перевірені підказки та відповіді до вправ, а кожна вправа має окреме покрокове розв’язання.

Відкрити сторінку 43 Усі ГДЗ цього підручника Про підручник ГДЗ Математика 11 клас Підручники: Математика Підручники автора Мерзляк Підручники автора Якір

Вправа 8.11.1

✓ перевірено

Горизонтальна дотична до f(x)=e^x+e^(−x)

Підказка

Для горизонтальної дотичної f′(x)=0.

Відповідь

y=2.

Покрокове розв’язання вправи 8.11.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.11.2

✓ перевірено

Горизонтальна дотична до f(x)=(2^x−7)(2^x−9)

Підказка

Познач t=2^x>0.

Відповідь

y=−1.

Покрокове розв’язання вправи 8.11.2 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.12

✓ перевірено

Горизонтальна дотична до f(x)=(5^x−65)(5^x+15)

Підказка

Познач t=5^x.

Відповідь

y=−1600.

Покрокове розв’язання вправи 8.12 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.13.1

✓ перевірено

Дотична до y=e^x, паралельна y=ex−6

Підказка

Паралельні прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт e.

Відповідь

y=ex.

Покрокове розв’язання вправи 8.13.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.13.2

✓ перевірено

Дотична до y=6x−lnx, паралельна y=x

Підказка

Потрібно f′(x)=1.

Відповідь

y=x+1+ln5.

Покрокове розв’язання вправи 8.13.2 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.1

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=e^x−x

Підказка

Досліди знак f′(x)=e^x−1.

Відповідь

Спадає на (−∞;0], зростає на [0;+∞); мінімум (0;1).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.2

✓ перевірено

Монотонність і екстремуми f(x)=x²·2^(−x)

Підказка

Винеси додатний множник 2^(−x) у похідній.

Відповідь

Спадає (−∞;0] і [2/ln2;+∞), зростає [0;2/ln2]; min (0;0), max (2/ln2; 4/(e²ln²2)).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.2 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.3

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=e^x/(x−2)

Підказка

Область визначення: x≠2.

Відповідь

Спадає (−∞;2) і (2;3], зростає [3;+∞); локальний мінімум (3;e³).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.3 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.4

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=4x/e^x

Підказка

Запиши як 4xe^(−x).

Відповідь

Зростає (−∞;1], спадає [1;+∞); максимум (1;4/e).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.4 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.5

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=x³lnx

Підказка

Область визначення: x>0.

Відповідь

Спадає (0;e^(−1/3)], зростає [e^(−1/3);+∞); мінімум (e^(−1/3);−1/(3e)).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.5 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.6

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=lnx−x

Підказка

f′(x)=1/x−1.

Відповідь

Зростає (0;1], спадає [1;+∞); максимум (1;−1).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.6 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.7

✓ перевірено

Монотонність f(x)=lnx−1/x

Підказка

Знайди похідну на x>0.

Відповідь

Зростає на (0;+∞); точок екстремуму немає.

Покрокове розв’язання вправи 8.14.7 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.14.8

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=x/lnx

Підказка

D(f)=(0;1)∪(1;+∞).

Відповідь

Спадає (0;1) і (1;e], зростає [e;+∞); локальний мінімум (e;e).

Покрокове розв’язання вправи 8.14.8 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.15.1

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=x³/3^x

Підказка

Запиши 3^(−x) і застосуй правило добутку.

Відповідь

Зростає (−∞;3/ln3], спадає [3/ln3;+∞); максимум (3/ln3;27/(e³ln³3)).

Покрокове розв’язання вправи 8.15.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.15.2

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=(x+3)/e^x

Підказка

Запиши як (x+3)e^(−x).

Відповідь

Зростає (−∞;−2], спадає [−2;+∞); максимум (−2;e²).

Покрокове розв’язання вправи 8.15.2 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.15.3

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=0,5x²−lnx

Підказка

D(f)=(0;+∞).

Відповідь

Спадає (0;1], зростає [1;+∞); мінімум (1;1/2).

Покрокове розв’язання вправи 8.15.3 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.15.4

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=lnx/x

Підказка

Застосуй правило частки.

Відповідь

Зростає (0;e], спадає [e;+∞); максимум (e;1/e).

Покрокове розв’язання вправи 8.15.4 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.15.5

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=2lnx+2/x

Підказка

D(f)=(0;+∞).

Відповідь

Спадає (0;1], зростає [1;+∞); мінімум (1;2).

Покрокове розв’язання вправи 8.15.5 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.15.6

✓ перевірено

Монотонність і екстремум f(x)=lnx/√x

Підказка

Запиши як lnx·x^(−1/2).

Відповідь

Зростає (0;e²], спадає [e²;+∞); максимум (e²;2/e).

Покрокове розв’язання вправи 8.15.6 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.16

✓ перевірено

Найбільше і найменше f(x)=e^x+x на [−1;1]

Підказка

Похідна e^x+1 завжди додатна.

Відповідь

Найбільше e+1; найменше 1/e−1.

Покрокове розв’язання вправи 8.16 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.17

✓ перевірено

Найбільше і найменше f(x)=(x−1)e^(−x) на [1;3]

Підказка

Знайди критичну точку всередині відрізка.

Відповідь

Найбільше 1/e²; найменше 0.

Покрокове розв’язання вправи 8.17 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.18.1

✓ перевірено

Досліджуємо f(x)=xe^x і будуємо графік

Підказка

Знайди нуль, екстремум і поведінку на нескінченностях.

Відповідь

Нуль (0;0), мінімум (−1;−1/e), перегин (−2;−2/e²); спадає до −1, далі зростає.

Покрокове розв’язання вправи 8.18.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.18.2

✓ перевірено

Досліджуємо f(x)=x²−2lnx і будуємо графік

Підказка

Область визначення x>0.

Відповідь

Мінімум (1;1); спадає (0;1], зростає [1;+∞), графік опуклий вгору.

Покрокове розв’язання вправи 8.18.2 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.19

✓ перевірено

Досліджуємо f(x)=x/e^x і будуємо графік

Підказка

Запиши як xe^(−x).

Відповідь

Нуль (0;0), максимум (1;1/e), перегин (2;2/e²); зростає до 1, далі спадає.

Покрокове розв’язання вправи 8.19 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.20.1

✓ перевірено

Розв’язуємо cos2x=cosx−1

Підказка

Застосуй cos2x=2cos²x−1.

Відповідь

x=π/2+πk або x=±π/3+2πk, k∈ℤ.

Покрокове розв’язання вправи 8.20.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.20.2

✓ перевірено

Розв’язуємо cos2x=sinx

Підказка

Застосуй cos2x=1−2sin²x.

Відповідь

x=(−1)^k·π/6+πk або x=−π/2+2πk, k∈ℤ.

Покрокове розв’язання вправи 8.20.2 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.21.1

✓ перевірено

Перетин y=1+√(x+5) і y=x

Підказка

Прирівняй праві частини та врахуй x−1≥0.

Відповідь

(4;4).

Покрокове розв’язання вправи 8.21.1 →Сторінка 43 у підручнику

Вправа 8.21.2

✓ перевірено

Перетин y=2−2√(x+5) і y=−x

Підказка

Після перенесення маємо 2√(x+5)=x+2.

Відповідь

(4;−4).

Покрокове розв’язання вправи 8.21.2 →Сторінка 43 у підручнику

КласТека прив’язує ГДЗ до точного видання підручника, частини, сторінки та номера вправи. Перед перевіркою відповіді звір автора, рік видання і, для багаточастинного підручника, потрібну частину. Дивись також сторінку підручника, усі підручники з предмета «Математика».