ГДЗ · Геометрія · 11 клас

ГДЗ Геометрія 11 клас — Бурда М. І. 2019, сторінка 19

Підручник «Геометрія (профільний рівень). 11 клас» · Бурда М. І., Тарасенкова Н. А., Богатирьова І. М., Коломієць О. М., Сердюк З. О. · 2019. На цій сторінці зібрані перевірені підказки та відповіді до вправ, а кожна вправа має окреме покрокове розв’язання.

Відкрити сторінку 19 Усі ГДЗ цього підручника Про підручник ГДЗ Геометрія 11 клас Підручники: Геометрія Підручники автора Тарасенкова Підручники автора Богатирьова

Вправа 22

✓ перевірено

Кут між площиною прямого плоского кута і протилежним ребром

Підказка

Розмістіть два ребра прямого плоского кута вздовж взаємно перпендикулярних осей у площині.

Відповідь

45°.

Покрокове розв’язання · № 22 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 23

✓ перевірено

Відстані від точки до граней за рівними відстанями до ребер

Підказка

Позначте відстані до трьох граней через x,y,z. Відстані до координатних ребер тоді дорівнюють √(y²+z²), √(x²+z²), √(x²+y²).

Відповідь

1) 5√2/2 см; 2) 6 см; 3) 2√3 см.

Покрокове розв’язання · № 23 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 24

✓ перевірено

Довжина SA за відстанями від точки до трьох ребер

Підказка

Якщо координати точки x,y,z, то a²=y²+z², b²=x²+z², c²=x²+y². Додайте три рівності.

Відповідь

1) 15√2/2 см; 2) 7√2/2 см; 3) 4√2 см.

Покрокове розв’язання · № 24 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 25

✓ перевірено

Друга теорема косинусів для тригранного кута

Підказка

Виразіть плоский кут γ через двогранні кути, застосувавши звичайну теорему косинусів до сферичного/перпендикулярного перерізу.

Відповідь

Доведено: cos C=−cos A·cos B+sin A·sin B·cos γ.

Покрокове розв’язання · № 25 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 26

✓ перевірено

Наслідок з умови A+B+C=360°

Підказка

Використайте другу теорему косинусів і тотожність C=360°−(A+B).

Відповідь

Доведено: якщо A+B+C=360°, то cosα+cosβ+cosγ=1.

Покрокове розв’язання · № 26 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 27

✓ перевірено

Наслідок з умови A+B=180°

Підказка

Спочатку застосуйте теорему синусів для тригранного кута, а випадок α=β окремо перевірте за теоремою косинусів.

Відповідь

Доведено: α+β=180°.

Покрокове розв’язання · № 27 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 28

✓ перевірено

Знайти двогранний кут A за B, C та плоским кутом α

Підказка

Друга теорема косинусів: cosA=−cosBcosC+sinBsinC·cosα.

Відповідь

1) A=arccos(−√3/8)≈102,5°; 2) A=arccos(√2/8)≈79,8°; 3) A=arccos(−√6/8)≈107,8°.

Покрокове розв’язання · № 28 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 29

✓ перевірено

Перевірити існування тригранного кута за плоскими і двогранними кутами

Підказка

Достатньо перевірити одну з тотожностей теореми косинусів; якщо вона не виконується, заданого тригранного кута не існує.

Відповідь

1) ні; 2) ні; 3) ні.

Покрокове розв’язання · № 29 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 30

✓ перевірено

Чи може сума двогранних кутів дорівнювати 360°

Підказка

За плоскими кутами тригранний кут визначається однозначно; знайдіть двогранні кути за першою теоремою косинусів і перевірте їх суму.

Відповідь

1) ні; 2) ні; 3) ні.

Покрокове розв’язання · № 30 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 31

✓ перевірено

Двогранний кут при основі правильної чотирикутної піраміди

Підказка

Плоский кут бічної грані при вершині 60°, отже кожна бічна грань — рівносторонній трикутник.

Відповідь

arctg√2 = arccos(1/√3) ≈ 54,74°.

Покрокове розв’язання · № 31 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 32

✓ перевірено

Перпендикулярність протилежних бічних ребер піраміди

Підказка

За умовою бічні грані — рівносторонні трикутники.

Відповідь

Доведено: протилежні бічні ребра правильної чотирикутної піраміди взаємно перпендикулярні.

Покрокове розв’язання · № 32 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 33

✓ перевірено

Двогранні кути рівнокутного тригранного кута

Підказка

Усі плоскі кути дорівнюють 60°, тому всі двогранні кути також рівні.

Відповідь

Усі три двогранні кути дорівнюють arccos(1/3) ≈ 70,53°.

Покрокове розв’язання · № 33 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 34

✓ перевірено

Третій двогранний кут

Підказка

Застосуйте другу теорему косинусів: cosA=−cosBcosC+sinBsinC·cosα.

Відповідь

120°.

Покрокове розв’язання · № 34 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 35

✓ перевірено

Ознака рівності тригранних кутів за кутом і двома прилеглими двогранними кутами

Підказка

Відновіть спочатку третій двогранний кут за другою теоремою косинусів.

Відповідь

Доведено: такі тригранні кути рівні.

Покрокове розв’язання · № 35 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 36

✓ перевірено

Рівність тригранних кутів за трьома двогранними кутами

Підказка

Друга теорема косинусів однозначно визначає кожний плоский кут через три двогранні.

Відповідь

Доведено.

Покрокове розв’язання · № 36 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 37

✓ перевірено

Рівність тригранних кутів за трьома плоскими кутами

Підказка

Перша теорема косинусів однозначно визначає двогранні кути.

Відповідь

Доведено.

Покрокове розв’язання · № 37 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 38

✓ перевірено

Перпендикулярність площини BAC до площини прямого кута

Підказка

Скористайтеся координатами в площині прямого кута BDC.

Відповідь

Доведено: площина BAC перпендикулярна до площини BDC.

Покрокове розв’язання · № 38 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 39

✓ перевірено

Геометричне місце рівновіддалених точок

Підказка

Рівновіддаленість від двох площин задає бісекторну площину, а рівновіддаленість від прямих — рівність кутів до цих прямих.

Відповідь

1) внутрішній бісекторний промінь тригранного кута; 2) промінь з вершини, однаково нахилений до всіх трьох ребер (вісь кругового конуса, що проходить через ребра).

Покрокове розв’язання · № 39 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 40

✓ перевірено

Бісектриса третього плоского кута

Підказка

Візьміть рівні відрізки на двох зовнішніх ребрах і використайте рівність прямокутних трикутників.

Відповідь

Доведено.

Покрокове розв’язання · № 40 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 42

✓ перевірено

Відстань від внутрішньої точки до вершини тригранного кута

Підказка

Введіть координати вздовж трьох ребер; дві пари ребер перпендикулярні, а третя пара утворює 60°.

Відповідь

26 см.

Покрокове розв’язання · № 42 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 45

✓ перевірено

Переріз чотиригранного кута у вигляді паралелограма

Підказка

Почніть з довільного опуклого чотирикутного перерізу й використайте точку перетину його діагоналей.

Відповідь

Доведено: чотиригранний кут можна перетнути площиною з паралелограмом у перерізі.

Покрокове розв’язання · № 45 →Сторінка 19 у підручнику

Вправа 46

✓ перевірено

Сума двогранних кутів чотиригранного кута

Підказка

Перетніть кут одиничною сферою з центром у його вершині.

Відповідь

Доведено: сума двогранних кутів чотиригранного кута більша за 360°.

Покрокове розв’язання · № 46 →Сторінка 19 у підручнику

КласТека прив’язує ГДЗ до точного видання підручника, частини, сторінки та номера вправи. Перед перевіркою відповіді звір автора, рік видання і, для багаточастинного підручника, потрібну частину. Дивись також сторінку підручника, усі підручники з предмета «Геометрія».